Căn bậc hai của 3 là một số thực dương sao cho khi nhân với chính nó thì cho ra số 3. Chính xác hơn, nó được gọi là căn bậc hai số học của 3, để phân biệt với số tâm có cùng tính chất. Nó được kí hiệu là hoặc .

Căn bậc hai của 3 là một số vô tỉ. Nó còn được biết là hằng số Theodorus, đặt tên theo Theodorus xứ Cyrene, người đã chứng minh tính vô tỉ của nó.

Thuật toán tính toán

Có một số cách để xấp xỉ giá trị của . Thuật toán thường được dùng trong các máy tính cá nhân và máy tính bỏ túi là phương pháp Babylon để tính căn bậc hai của một số. Các bước tiến hành như sau:

Lấy một số bất kì làm giá trị ban đầu (càng gần càng tốt)

Tính từng số hạng theo công thức truy hồi sau:

:$a\_\{n+1\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(a\_n\; +\; \backslash frac\{3\}\{a\_n\}\backslash right).$

Lặp lại bước 2 cho đến khi đạt được độ chính xác cần thiết.

Dãy trên là dãy hội tụ bậc hai, tức mỗi lần tính cho ta khoảng gấp đôi số chữ số thập phân đúng. Bắt đầu với cho ta các xấp xỉ:

Tháng 12 năm 2013, giá trị của đã được tính đến ít nhất mười tỉ chữ số thập phân.

Xấp xỉ hữu tỉ

Phân số (…) có thể được dùng làm xấp xỉ cho căn bậc hai của 3. Tuy chỉ có mẫu số 56, nó chỉ cách biệt giá trị đúng ít hơn (khoảng ). Giá trị làm tròn 1.732 đúng đến 99.99% giá trị thực.

Archimedes khẳng định rằng , lần lượt với sai số là (sáu chữ số thập phân) và (bốn chữ số thập phân).

Liên phân số

có thể được biểu diễn bằng phân số liên tục , tức là :$\backslash sqrt\{3\}\; =\; [1;\backslash overline\{1,2\}]\; =\; 1+\backslash cfrac\{1\}\{1+\backslash cfrac\{1\}\{2+\backslash cfrac\{1\}\{1+\backslash cfrac\{1\}\{2\; +\; \{\_\backslash ddots\}.$

Theo tính chất của liên phân số thì nếu :{11} & a{12} \a{21} & a{22} \end{bmatrix} thì khi :$\backslash sqrt\{3\}\; =\; 2\; \backslash cdot\; \backslash frac\{a${22{a{12 -1

Ngoài ra cũng có thể biễu diễn dưới dạng liên phân số tổng quát như :$[2;\; -4,\; -4,\; -4,\; ...]\; =\; 2\; -\; \backslash cfrac\{1\}\{4\; -\; \backslash cfrac\{1\}\{4\; -\; \backslash cfrac\{1\}\{4\; -\; \{\_\backslash ddots$ thực chất là tính hai số hạng cùng lúc.

Biểu diễn bình phương

Biểu thức bình phương lồng nhau sau tiến về : :$!\backslash \; \backslash sqrt\{3\}\; =2\; -\; 2\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{2\}-\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{2\}-\backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{2\}-\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{2\}-\; \backslash dots\; \backslash right)^2\; \backslash right)^2\; \backslash right)^2\; \backslash right)^2=\; \backslash frac\{7\}\{4\}\; -\; 4\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{16\}+\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{16\}+\backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{16\}+\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{16\}+\; \backslash dots\; \backslash right)^2\; \backslash right)^2\; \backslash right)^2\; \backslash right)^2.$

Chứng minh tính vô tỉ

Chứng minh bằng lùi vô hạn

Chứng minh thường được dùng cho tính vô tỉ của sử dụng phương pháp lùi vô hạn của Fermat. Phương pháp này có thể được áp dụng cho bất kì số nguyên nào không phải là số chính phương.

Giả sử là một số hữu tỉ, tức có thể viết dưới dạng một phân số tối giản , trong đó và nguyên tố cùng nhau.

Ta suy ra hay .   ( là các số nguyên)

Do đó chia hết cho , nên cũng chia hết cho , tức tồn tại số nguyên sao cho .

Thay cho trong đẳng thức ở bước 2: ta được .

Lập luận như bước 3, ta được là số chia hết cho , nên cũng chia hết cho .

Như vậy cả và đều chia hết cho , nên chúng có một ước chung là , trái với giả thiết rằng và là hai số nguyên tố cùng nhau.

Chứng minh bằng định lý nghiệm hữu tỉ

Một chứng minh khác cho tính vô tỉ của là sử dụng một trường hợp đặc biệt của định lý nghiệm hữu tỉ, phát biểu rằng nếu là một đa thức monic (tức đa thức có hệ số bậc cao nhất bằng ) với hệ số nguyên, thì bất kì nghiệm hữu tỉ nào của cũng là một số nguyên. Áp dụng định lý cho đa thức , ta suy ra hoặc là số nguyên hoặc là số vô tỉ. Vì nên nó không là một số nguyên, do đó là một số vô tỉ.

Hình học và lượng giác

thumb|Đường chéo của [[hình lập phương đơn vị có độ dài là .]]

là độ dài cạnh của một tam giác đều nội tiếp đường tròn có bán kính bằng . Tương tự, nếu một tam giác đều có cạnh bị chia làm hai nửa bằng nhau, mỗi nửa là một tam giác vuông 30-60-90 với cạnh huyền bằng , cạnh góc vuông là và . Từ đó ta suy ra được giá trị các hàm số lượng giác của và . :

Căn bậc hai của 3 cũng xuất hiện trong biểu thức đại số của nhiều hằng số lượng giác như :

Ngoài ra còn là khoảng cách giữa hai cạnh đối nhau của hình lục giác đều có cạnh 1, hay là đường chéo của hình lập phương đơn vị.

Ứng dụng khác

Kỹ thuật điện

Trong điện lực, hiệu điện thế giữa hai dây pha (điện áp dây) trong hệ thống điện ba pha bằng nhân hiệu điện thế của giữa một dây pha và dây trung hòa (điện áp pha). Đây là do hai pha cách nhau , và hai điểm cách nhau 120 độ trên đường tròn thì có khoảng cách bằng nhân bán kính đường tròn đó.