Trong lý thuyết số, trường cyclotomic là trường số có được bằng cách mở rộng thêm căn đơn vị phức cho là trường các số hữu tỉ.

Trừong cyclotomic đóng vai trò quan trọng trong phát triển đại số hiện đại và lý thuyết số bởi quan hệ của nó với định lý lớn Fermat. Fermat dùng nó trong quá trình nghiên cứu các phép tính trong các trường cho số nguyên tố ) – và chính xác hơn thì, do không thể phân tích duy nhất trong các vành nguyên .

Định nghĩa

Với , đặt ; là căn đơn vị nguyên thủy thứ . Trường cyclotomic thứ là mở rộng của sinh bởi .

Tính chất

• Đa thức cyclotomic thứ
  :$\backslash Phi$n(x) = !!!\prod\stackrel{1\le k\le n}{\gcd(k,n)=1}!!! \left(x-e^{2\pi i k/n}\right)

  !!!\prod_\stackrel{1\le k\le n}{\gcd(k,n)=1}!!! (x-{\zeta_n}^k)

  không phân tích được, nên nó là đa thức tối tiểu của trên .
• Liên hợp của trong cũng là căn đơn vị nguyên thủy thứ : với và .
• Bậc của là , với là hàm phi Euler.
• Các nghiệm của là lũy thừa của , nên là trường phân rã của (hoặc của ) trên .
• Do đó, là mở rộng Galois của .
• Nhóm Galois $\backslash operatorname\{Gal\}(\backslash mathbf\{Q\}(\backslash zeta\_n)/\backslash mathbf\{Q\})$ đẳng cấu tự nhiên với nhóm nhân $(\backslash mathbf\{Z\}/n\backslash mathbf\{Z\})^\backslash times$, bao gồm các giá trị dư khả nghịch modulo , tức là các giá trị với và . Phép đẳng cấu biến mỗi $\backslash sigma\; \backslash in\; \backslash operatorname\{Gal\}(\backslash mathbf\{Q\}(\backslash zeta\_n)/\backslash mathbf\{Q\})$ thành , với là số nguyên sao cho .
• Vành số nguyên của là .
• Với , biệt thức của mở rộng là: :: $(-1)^\{\backslash varphi(n)/2\}\backslash ,\; \backslash frac\{n^\{\backslash varphi(n)\; \{\backslash displaystyle\backslash prod\_\{p|n\}\; p^\{\backslash varphi(n)/(p-1).$