✨Phương trình đường thẳng

Một số khái niệm

Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ $\backslash vec\{u\}\backslash neq\backslash vec\{0\}$ và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng được xem là vectơ chỉ phương của đường thẳng. Khi đó, với $k\backslash neq0$, vectơ $k\backslash vec\{u\}$ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ $\backslash vec\{n\}\backslash neq\backslash vec\{0\}$ và có giá vuông góc với đường thẳng được xem là vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Khi đó, với $k\backslash neq0$, vectơ $k\backslash vec\{n\}$ cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó

Tương quan giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\backslash vec\{a\}=(a,b)$ thì có vectơ pháp tuyến là $\backslash vec\{n\}=(-b,a)$ hay $\backslash vec\{n\}=(b,-a)$. Ngược lại, đường thẳng $d$ có vectơ pháp tuyến $\backslash vec\{n\}=(a,b)$ thì có vectơ chỉ phương là $\backslash vec\{a\}=(-b,a)$ hay $\backslash vec\{a\}=(b,-a)$

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, đường thẳng $d$ có vectơ $\backslash vec\{n\_1\}=(A\_1,B\_1,C\_1)$ và vectơ $\backslash vec\{n\_2\}=(A\_2,B\_2,C\_2)$ là 2 vectơ pháp tuyến không cùng phương thì có vectơ chỉ phương là tích có hướng giữa $\backslash vec\{n\_1\}$ với $\backslash vec\{n\_2\}$ hoặc giữa $\backslash vec\{n\_2\}$ với $\backslash vec\{n\_1\}$.

Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Dạng tham số

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(x\_0,y\_0)$ và nhận $\backslash vec\{u\}=(u\_1,u\_2)$ làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của $d$ là$\backslash begin\{cases\}\; x=x\_0+u\_1\; t\; \backslash \; y=y\_0+u\_2\; t\; \backslash end\{cases\}$ với $t$ được gọi là tham số. Với mỗi giá trị $t\backslash in\; R$ ta được một điểm thuộc đường thẳng.

Dạng chính tắc

Nếu $u\_1\; \backslash neq\; 0$ và $u\_2\; \backslash neq\; 0$, từ phương trình tham số ta khử tham số $t$, ta được phương trình chính tắc $\{x-x\_0\; \backslash over\; u\_1\}=\{y-y\_0\; \backslash over\; u\_2\}$.

Đường thẳng song song hoặc vuông góc với các trục tọa độ thì không có phương trình chính tắc.

Dạng tổng quát

Phương trình $ax+by+c=0$ với $a^2+b^2\backslash neq0$ được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng, khi đó $\backslash vec\{n\}=(a,b)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng.

Các trường hợp đặc biệt

Đường thẳng $by+c=0$ $(a=0)$ vuông góc với trục $Oy$ tại điểm $A(0;-\{c\; \backslash over\; b\})$.

Đường thẳng $ax+c=0$ $(b=0)$ vuông góc với trục $Ox$ tại điểm $B(-\{c\; \backslash over\; a\};0)$.

Đường thẳng $ax+by=0$ $(c=0)$ đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$.

Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn

Đường thẳng đi qua 2 điểm $A(x\_0;0)$ ($x\_0\backslash neq0$) và $B(0;y\_0)$ ($y\_0\backslash neq0$) thì có thể được viết dưới dạng phương trình $\{x\; \backslash over\; x\_0\}+\{y\; \backslash over\; y\_0\}=1$.

Hệ số góc của đường thẳng

Cho đường thẳng $d$ cắt trục $Ox$ tại $M$ và tia $Mt$ là một phần của đường thẳng nằm ở nửa mặt phẳng có bờ là trục $Ox$ mà các điểm trên nửa mặt phẳng đó có tung độ dương, khi đó tia $Mt$ hợp với tia $Mx$ một góc $\backslash alpha$. Đặt $k=\backslash tan\backslash alpha$, khi đó $k$ được gọi là hệ số góc của đường thẳng $d$.

Đường thẳng có vecto chỉ phương $\backslash vec\{u\}=(u\_1,u\_2)$ thì có hệ số góc $k=\{u\_2\; \backslash over\; u\_1\}$.

Đường thẳng có vectơ pháp tuyến $\backslash vec\{n\}=(a,b)$ thì có hệ số góc $k=-\{a\; \backslash over\; b\}$.

Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau.

Hai đường thẳng vuông góc có tích 2 hệ số góc là $-1$.

Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng

Cho 2 đường thẳng: $(D)$ $Ax+By+C=0$ và $(d)$ $ax+by+c=0$.

$(D)$ cắt $(d)$ $\backslash Leftrightarrow$ $\{A\; \backslash over\; a\}\; \backslash neq\{B\; \backslash over\; b\}$ khi đó tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình $\backslash begin\{cases\}\; Ax+By+C=0\; \backslash \backslash \; ax+by+c=0\; \backslash end\{cases\}$ $(D)$ $//$ $(d)$$\backslash Leftrightarrow$ $\{A\; \backslash over\; a\}\; =\{B\; \backslash over\; b\}\backslash neq\{C\backslash over\; c\}$ $(D)$ $\backslash equiv$ $(d)$$\backslash Leftrightarrow$$A:B:C\; =\; a:b:c$

Góc giữa 2 đường thẳng

Cho đường thẳng $(D)$ và $(d)$ cắt nhau tại điểm $M$. Gọi $\backslash vec\{n\_1\}=(A\_1,B\_1)$ là vectơ pháp tuyến của $(D)$ và $\backslash vec\{n\_2\}=(A\_2,B\_2)$ là vectơ pháp tuyến của $(d)$. Gọi $\backslash alpha$ là góc nhọn tạo bởi 2 đường thẳng, khi đó:

$\backslash cos\backslash alpha=\{\backslash left\; \backslash vert\; \backslash vec\{n\_1\}.\backslash vec\{n\_2\}\; \backslash right\; \backslash vert\; \backslash over\backslash left\; \backslash vert\; \backslash vec\{n\_1\}\; \backslash right\; \backslash vert\backslash left\; \backslash vert\; \backslash vec\{n\_2\}\; \backslash right\; \backslash vert\; \}=\{\backslash left\backslash vert\; A\_1A\_2+B\_1B\_2\; \backslash right\backslash vert\; \backslash over\; \backslash sqrt\{(A\_1^2+B\_1^2)(A\_2^2+B\_2^2)$

2 đường thẳng vuông góc thì $\backslash alpha=90^\backslash circ$.

2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì $\backslash alpha=0^\backslash circ$.

Cách tính trên cũng đúng khi sử dụng vectơ chỉ phương.

Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

Cho đường thẳng $(d)$ $ax+by+c=0$ và $M(x\_0,y\_0)\backslash not\backslash in(d)$, khoảng cách từ điểm $M$ đến $(d)$ được tính theo công thức $d(M,d)=\{\backslash frac\{\backslash left\backslash vert\; ax\_0+by\_0+c\; \backslash right\backslash vert\}\{\backslash sqrt\{a^2+b^2\}$

Vị trí của 2 điểm đối với đường thẳng

Cho đường thẳng $(d)$ $ax+by+c=0$ và 2 điểm $M(x\_M,y\_M)$, $N(x\_N,y\_N)$ không nằm trên $(d)$. Xét các biểu thức $m=ax\_M+by\_M+c$ và $n=ax\_N+by\_N+c$, khi đó $M$ và $N$ nằm cùng phía với $(d)$ khi $m$ và $n$ cùng dấu, khác phía khi $m$ và $n$ trái dấu.

Phương trình đường thẳng trong không gian

Dạng tham số

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(x\_0,y\_0,z\_0)$ và nhận $\backslash vec\{u\}=(u\_1,u\_2,u\_3)$ làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của $d$ là $\backslash begin\{cases\}\; x=x\_0+u\_1\; t\; \backslash \; y=y\_0+u\_2\; t\; \backslash \; z=z\_0+u\_3\; t\; \backslash end\{cases\}$ với $t$ được gọi là tham số. Với mỗi giá trị $t\backslash in\; R$ ta được một điểm thuộc đường thẳng.

Dạng chính tắc

Nếu cả $u\_1$, $u\_2$, $u\_3$ đều khác $0$, từ phương trình tham số ta khử tham số $t$, ta được phương trình chính tắc: $\{x-x\_0\; \backslash over\; u\_1\}=\{y-y\_0\; \backslash over\; u\_2\}=\{z-z\_0\; \backslash over\; u\_3\}$

Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng

Cho đường thẳng $(d)$ có vectơ chỉ phương $\backslash vec\{u\}=(u\_1,u\_2,u\_3)$ và $(d\text{'})$ có vectơ chỉ phương $\backslash vec\{u\text{'}\}=(u\text{'}\_1,u\text{'}\_2,u\text{'}\_3)$. Gọi $M(x,y,z)$ là một điểm nằm trên $(d)$ và $M\text{'}(x\text{'},y\text{'},z\text{'})$ là một điểm nằm trên $(d\text{'})$. Ta có:

$(d)\backslash equiv(d\text{'})$ $\backslash Leftrightarrow$ $[\backslash vec\{u\},\backslash vec\{u\text{'}\}]=[\backslash vec\{u\},\backslash vec\{MM\text{'}\}]=\backslash vec\{0\}$ $(d)//(d\text{'})$ $\backslash Leftrightarrow$ $[\backslash vec\{u\},\backslash vec\{u\text{'}\}]=\backslash vec\{0\}$ và $[\backslash vec\{u\},\backslash vec\{MM\text{'}\}]\; \backslash neq\; \backslash vec\{0\}$ $(d)$ cắt $(d\text{'})$ $\backslash Leftrightarrow$ $\backslash begin\{cases\}\; [\backslash vec\{u\};\backslash vec\{u\text{'}\}]\backslash neq\backslash vec\{0\}\; \backslash \backslash \; \backslash vec\{MM\text{'}\}.[\backslash vec\{u\};\backslash vec\{u\text{'}\}]\; =0\; \backslash end\{cases\}$ $(d)$ và $(d\text{'})$ chéo nhau $\backslash Leftrightarrow$$\backslash vec\{MM\text{'}\}.[\backslash vec\{u\};\backslash vec\{u\text{'}\}]\; \backslash neq\; 0$

Khoảng cách

Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

Cho đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $M\_0$ và có vectơ chỉ phương $\backslash vec\{u\}$. Khoảng cách từ điểm $M$ đến $(d)$ là $d[M,(d)]=\{\backslash left\; \backslash vert\; [\backslash vec\{M\_0M\},\backslash vec\{u\}]\; \backslash right\; \backslash vert\; \backslash over\; \backslash left\backslash vert\; \backslash vec\{u\}\; \backslash right\backslash vert\}$

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Cho 2 đường thẳng chéo nhau $(d)$ và $(d\text{'})$. Đường thẳng $(d)$ có vectơ chỉ phương $\backslash vec\{u\}=(u\_1,u\_2,u\_3)$ và đường thẳng $(d\text{'})$ có vectơ chỉ phương $\backslash vec\{u\text{'}\}=(u\text{'}\_1,u\text{'}\_2,u\text{'}\_3)$. Gọi $M(x,y,z)$ là một điểm nằm trên $(d)$ và $M\text{'}(x\text{'},y\text{'},z\text{'})$ là một điểm nằm trên $(d\text{'})$. Khi đó khoảng cách giữa $(d)$ và $(d\text{'})$ là

$d[(d),(d\text{'})]=\{\backslash left\backslash vert\; [\backslash vec\{u\},\backslash vec\{u\text{'}\}].\backslash vec\{MM\text{'}\}\; \backslash right\backslash vert\; \backslash over\; \backslash left\; \backslash vert\; [\backslash vec\{u\},\backslash vec\{u\text{'}\}]\; \backslash right\; \backslash vert\}$