✨Phương tích của một điểm

nhỏ|Ý nghĩa hình học Trong hình học phẳng sơ cấp, phương tích của một điểm là một số thực thể hiện khoảng cách tương đối của điểm đó đối với một đường tròn cho trước. Khái niệm này được giới thiệu bởi nhà toán học Jakob Steiner năm 1826.

Một cách cụ thể, phương tích $\backslash Pi(P)$ của một điểm $P$ đối với một đường tròn $c$ với tâm $O$ và bán kính $r$ được định nghĩa bởi

: $\backslash Pi(P)=|PO|^2\; -\; r^2.$

Nếu $P$ nằm bên ngoài đường tròn thì $\backslash Pi(P)>0$,

nếu $P$ nằm trên đường tròn thì $\backslash Pi(P)=0$, và

nếu $P$ nằm bên trong đường tròn thì .

Do định lý Pythagoras, số $\backslash Pi(P)$ có ý nghĩa hình học đơn giản thể hiện trong sơ đồ bên phải: Đối với một điểm $P$ nằm ngoài đường tròn thì $\backslash Pi(P)$ là bình phương khoảng cách theo tiếp tuyến $|PT|$ của điểm $P$ tới đường tròn $c$.

Những điểm có cùng phương tích đối với một đường tròn $c$, tức là các đường đẳng giá trị $\backslash Pi(P)$, là các đường tròn đồng tâm với $c$.

Steiner đã sử dụng phương tích của một điểm để chứng minh một vài khẳng định về đường tròn, ví dụ:

• Xác định một đường tròn, cắt bốn đường tròn đã cho với cùng một góc.
• Giải Bài toán của Apollonius
• Dựng các đường tròn Malfatti: Đối với một tam giác đã cho xác định ba đường tròn tiếp xúc nhau và mỗi đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của tam giác.
• Phiên bản hình học cầu của bài toán Malfatti: Tam giác nêu trên là một tam giác cầu.

Những công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu các đường tròn là trục đẳng phương của hai đường tròn và tâm đẳng phương của ba đường tròn.

Sơ đồ phương tích là một tập hợp các đường tròn chia mặt phẳng thành các miền, một miền tương ứng với một đường tròn cho trước gồm những điểm có phương tích đối với đường tròn đó nhỏ hơn phương tích của tất cả các đường tròn khác.

Tổng quát hơn, nhà toán học Pháp Edmond Laguerre đã định nghĩa phương tích của một điểm đối với một đường cong đại số bất kỳ theo cách tương tự.

Tính chất hình học

Ngoài những tính chất đã nêu trên, sau đây là một số tính chất sâu hơn:

Đường tròn trực giao

nhỏ|Đường tròn trực giao (màu xanh lá) Đối với một điểm bất kỳ $P$ bên ngoài đường tròn $c$ tồn tại hai tiếp điểm $T\_1,T\_2$ nằm trên đường tròn $c$, với những khoảng cách bằng nhau tới $P$. Do đó đường tròn $o$ với tâm $P$ đi qua $T\_1$ cũng đi qua $T\_2$, và được gọi là cắt đường tròn $c$ trực giao:

• Đường tròn với tâm $P$ và bán kính $\backslash sqrt\{\backslash Pi(P)\}$ cắt đường tròn $c$ trực giao.

nhỏ|Góc giữa hai đường tròn Nếu bán kính $\backslash rho$ của đường tròn tâm $P$ khác $\backslash sqrt\{\backslash Pi(P)\}$, ta có thể định nghĩa góc giao $\backslash varphi$ giữa hai đường tròn, nhờ áp dụng định lý cosin (xem hình vẽ):

: $\backslash rho^2+r^2-2\backslash rho\; r\; \backslash cos\backslash varphi=|PO|^2$ : $\backslash rightarrow\; \backslash \; \backslash cos\backslash varphi=\backslash frac\{\backslash rho^2+r^2-|PO|^2\}\{2\backslash rho\; r\}=\backslash frac\{\backslash rho^2-\backslash Pi(P)\}\{2\backslash rho\; r\}$

($PS\_1$ và $OS\_1$ là các bán kình và pháp tuyến với tiếp tuyến của đường tròn.)

Nếu $P$ nằm bên trong đường tròn $c$ thì và $\backslash varphi$ luôn khác $90^\backslash circ$.

Nếu góc $\backslash varphi$ đã cho thì có thể tính bán kính $\backslash rho$ bằng cách giải phương trình bậc hai

: $\backslash rho^2-2\backslash rho\; r\; \backslash cos\backslash varphi-\backslash Pi(P)=0$.

Định lý cát tuyến cắt nhau và định lý dây cung cắt nhau

nhỏ|Định lý cát tuyến và định lý dây cung Đối với các định lý cát tuyến cắt nhau và định lý dây cung cắt nhau, phương tích của một điểm đóng vai trò là một bất biến:

• Định lý cát tuyến cắt nhau: Đối với điểm $P$ nằm ngoài đường tròn $c$ và từ đó vẽ cát tuyến $g$ cắt $c$ tại các giao điểm $S\_1,S\_2$, khẳng định sau là đúng: $|PS\_1|\; \backslash cdot\; |PS\_2|=\; \backslash Pi(P)$, do đó tích này không phụ thuộc vào đường thẳng $g$. Nếu $g$ là là tiếp tuyến thì$S\_1=S\_2$ và khẳng định này được gọi là định lý tiếp tuyến-cát tuyến.
• Định lý dây cung cắt nhau: Đối với một điểm $P$ nằm trong đường tròn $c$ và các giao điểm $S\_1,S\_2$ của một cát tuyến $g$ của $c$ thì khẳng định sau là đúng: $|PS\_1|\; \backslash cdot\; |PS\_2|=\; -\backslash Pi(P)$, do đó tích này không phụ thuộc vào đường thẳng $g$.

Trục đẳng phương

Cho $P$ là một điểm và $c\_1,c\_2$ là hai đường tròn không đồng tâm với các tâm tương ứng $O\_1,O\_2$ và các bán kính tương ứng $r\_1,r\_2$. Điểm $P$ có phương tích $\backslash Pi\_i(P)$ đối với đường tròn $c\_i$. Tập hợp tất cả các điểm $P$ với $\backslash Pi\_1(P)=\backslash Pi\_2(P)$ là một đường thẳng được gọi là trục đẳng phương. Nó chứa những điểm có thể là điểm chung của hai đường tròn và vuông góc với đường nối tâm $\backslash overline\{O\_1O\_2\}$.

Chứng minh chung của định lý cát tuyến và định lý dây cung

nhỏ|Định lý cát tuyến/dây cung: chứng minh Cả hai định lý, và bao gồm cả định lý tiếp tuyến-cát tuyến, có thể được chứng minh đồng thời:

Cho $P:\backslash vec\; p$ là một điểm với biểu diễn vectơ, $c:\; \backslash vec\; x^2-r^2=0$ là một đường tròn với tâm ở gốc tọa độ và $\backslash vec\; v$ là một vectơ đơn vị chỉ hướng bất kỳ. Các tham số $t\_1,t\_2$ của các điểm chung của đường thẳng $g:\; \backslash vec\; x=\backslash vec\; p+t\backslash vec\; v$ (đi qua $P$) với đường tròn $c$ có thể được xác định bằng cách thay phương trình tham số của đường thẳng vào phương trình của đường tròn:

: $(\backslash vec\; p+t\backslash vec\; v)^2-r^2=0\; \backslash quad\; \backslash rightarrow\; \backslash quad\; t^2+2t\backslash ;\backslash vec\; p\backslash cdot\backslash vec\; v\; +\backslash vec\; p^2-r^2=0\; \backslash \; .$

Từ định lý Viète có thể tìm ra:

: $t\_1\backslash cdot\; t\_2=\backslash vec\; p^2-r^2\; =\backslash Pi(P)$. (không phụ thuộc vào $\backslash vec\; v$ !)

$\backslash Pi(P)$ là phương tích của $P$ đói với đường tròn $c$.

Bởi vì $|\backslash vec\; v|=1$ ta có những kết luận sau đây đối với các điểm $S\_1,S\_2$:

: $|PS\_1|\backslash cdot|PS\_2|=t\_1t\_2=\backslash Pi(P)\backslash$, nếu $P$ nằm ngoài đường tròn, : $|PS\_1|\backslash cdot|PS\_2|=-t\_1t\_2=-\backslash Pi(P)\backslash$, nếu $P$ nằm trong đường tròn ($t\_1,t\_2$ có dấu khác nhau).

Trong trường hợp $t\_1=t\_2$ thì đường thẳng $g$ là một tiếp tuyến và $\backslash Pi(P)$ là bình phương khoảng cách theo phương tiếp tuyến từ điểm $P$ tới đường tròn $c$. nhỏ|Phương tích của một điẻm đối với một mặt cầu

Phương tích của một điểm đối với một mặt cầu

Khái niệm phương tích của một điểm đối với một đường tròn có thể được mở rộng cho một mặt cầu. Các định lý cát tuyến và dây cung cũng đúng đối với một mặt cầu, và có thể được chứng minh tương tự trường hợp đường tròn.