✨Hàm hyperbolic ngược

Hàm hyperbolic ngược

thumb|right|Một tia qua [[đường hyperbol đơn vị $\scriptstyle x^2\ -\ y^2\ =\ 1$ ở điểm $\scriptstyle (\cosh\,a,\,\sinh\,a)$ , khi $\scriptstyle a$ gấp hai lần diện tích giữa tia, đường hyperbol, và trục $\scriptstyle x$ ]] thumb|right|Hàm hyperbolic ngược Trong toán học, hàm hyperbolic ngược hay hàm hyperbolic nghịch đảo là hàm ngược của hàm hyperbolic.

Cho một giá trị của hàm hyperbolic, ta được một hàm hyperbolic ngược tương ứng với một góc hyperbolic tương ứng. Độ lớn góc hyperbolic tương ứng sẽ bằng diện tích của vùng hyperbolic tương ứng của một đường hyperbol , hoặc gấp hai lần diện tích của vùng tương ứng của đường hyperbola đơn vị , khi mà góc tròn gấp hai lần diện tích của hình quạt tròn của đường tròn đơn vị. Nhiều tác giả đã gọi hàm hyperbolic ngược là "hàm diện tích" để nhận ra góc hyperbolic.

Chuyển đổi

: $\ln x = \operatorname{artanh} \left( \frac{x^2-1}{x^2+1}\right)
= \operatorname{arsinh} \left( \frac{x^2-1}{2 x}\right)
= \pm \operatorname{arcosh} \left( \frac{x^2+1}{2 x}\right)$

: $\operatorname{artanh} x
= \operatorname{arsinh} \left( \frac{x}{\sqrt{1-x^2\right)
= \pm \operatorname{arcosh} \left( \frac{1}{\sqrt{1-x^2\right)$

: $\operatorname{arsinh} x
= \operatorname{artanh} \left( \frac{x}{\sqrt{1+x^2\right)
= \pm \operatorname{arcosh} \left( \sqrt{1+x^2}\right)$

: $\operatorname{arcosh} x
= \left| \operatorname{arsinh} \left( \sqrt{x^2-1}\right) \right|
= \left| \operatorname{artanh} \left( \frac{\sqrt{x^2-1{x}
\right) \right|$

Đạo hàm

: $\begin{align}
\frac{d}{dx} \operatorname{arsinh} x & {}= \frac{1}{\sqrt{x^2+1, \text{ với mọi số thực } x\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcosh} x & {}= \frac{1}{\sqrt{x^2-1, \text{ với mọi số thực } x>1\
\frac{d}{dx} \operatorname{artanh} x & {}= \frac{1}{1-x^2}, \text{ với mọi số thực } |x|<1\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcoth} x & {}= \frac{1}{1-x^2}, \text{ với mọi số thực } |x|>1\
\frac{d}{dx} \operatorname{arsech} x & {}= \frac{-1}{x\sqrt{1-x^2, \text{ với mọi số thực } x \in (0,1)\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcsch} x & {}= \frac{-1}{|x|\sqrt{1+x^2, \text{ với mọi số thực } x\text{, ngoại trừ } 0\
\end{align}$

Ví dụ vi phân: cho θ = arsinh x, vậy (khi sinh² θ = (sinh θ)²): : $\frac{d\,\operatorname{arsinh} x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sinh \theta} = \frac{1} {\cosh \theta} = \frac{1} {\sqrt{1+\sinh^2 \theta = \frac{1}{\sqrt{1+x^2.$

Khai triển biểu thức

Biểu thức sau đây có thể được khai triển:

: $\begin{align}\operatorname{arsinh} x & = x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} \pm\cdots \
& = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1 {2n+1} , \qquad \left| x \right| < 1 \end{align}$

: $\begin{align}\operatorname{arcosh} x & = \ln(2x) - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2 {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4 {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6 {6} +\cdots \right) \
& = \ln(2x) - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n {2n} , \qquad \left| x \right| > 1 \end{align}$

: $\begin{align}\operatorname{artanh} x & = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots \
& = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1 {2n+1} , \qquad \left| x \right| < 1 \end{align}$

: $\begin{align}\operatorname{arcsch} x = \operatorname{arsinh} \frac1x & = x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3 {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5 {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7 {7} \pm\cdots \
& = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1) {2n+1} , \qquad \left| x \right| > 1 \end{align}$

: $\begin{align}\operatorname{arsech} x = \operatorname{arcosh} \frac1x & = \ln \frac{2}{x} - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2 {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4 {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6 {6} +\cdots \right) \
& = \ln \frac{2}{x} - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n {2n} , \qquad 0 < x \le 1 \end{align}$

: $\begin{align}\operatorname{arcoth} x = \operatorname{artanh} \frac1x & = x^{-1} + \frac {x^{-3 {3} + \frac {x^{-5 {5} + \frac {x^{-7 {7} +\cdots \
& = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1) {2n+1} , \qquad \left| x \right| > 1 \end{align}$ Khai triển tiệm cận cho hàm arsinh x được cho bởi

: $\operatorname{arsinh} x = \ln(2x) + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^{n - 1} \frac} \frac{1}$

Biểu thị đồ họa

👁️ 76 | ⌚2025-09-16 22:45:48.185

Shopee PC

TPBank Thẻ tín dụng - Android

Feelex Lazada CPS

CITIGYM

Unilever Chamsocgiadinh Lazada_kol

Pierre Cardin Paris Vietnam - Official Website