✨Đồng luân

nhỏ|Hình 3: Một biến đổi đồng luân tách cà phê thành xuyến.

nhỏ|Hình 4: Hai đường đậm là đồng luân theo các điểm cuối của chúng. Các hình ảnh động mô tả một phép biến đổi đồng luân. nhỏ|Hình 5: Hai đường đậm là đồng luân theo các điểm cuối của chúng. Các đường nhỏ mô tả một phép biến đổi đồng luân. nhỏ|Hình 6: Quá trình biến đổi đồng luân. nhỏ|Hình 7: Homotopy group addition Trong tô pô, hai ánh xạ liên tục từ không gian tôpô này vào không gian tô pô khác được gọi là đồng luân với nhau (tiếng Hy Lạp ὁμός-homos-đồng nhất và τόπος-topos-vị trí) nếu ánh xạ này có thể biến đổi liên tục thành ánh xạ kia, một phép biến đổi như vậy gọi là một phép biến đổi đồng luân giữa hai ánh xạ. Ngoài ra đồng luân còn nói đến nhóm đồng luân và nhóm đối đồng luân, các bất biến quan trọng trong tô pô đại số.

Định nghĩa

• Một biến đổi đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục $f$ và $g$ từ không gian tô pô $X$ vào không gian tô pô $Y$ được định nghĩa là ánh xạ liên tục $H:\; X\; \backslash times\; [0,1]\; \backslash rarr\; Y$ từ tích của không gian $X$ với đoạn đơn vị $[0,1]$ vào $Y$ sao cho với mọi điểm $x\backslash in\; X$ ta có $H(x,0)=\; f(x)$ và $H(x,1)=g(x)$.
• Nếu ta nghĩ tham số thứ hai của $H$ như là thời gian, khi đó $H$ mô tả một biến đổi liên tục ánh xạ $f$ thành $g$ ký hiệu $H(x,t),\; t\backslash in\; [0,1]$. Tại thời điểm $0$ ta có ánh xạ $f$, tại thời điểm $1$ ta có ánh xạ $g$. Chúng ta cũng có thể nghĩ đến tham số thứ hai như điều khiển một thanh trượt cho quá trình chuyển đổi từ $f$ để $g$ như di chuyển thanh trượt $0$ đến $1$, và ngược lại.
• Một ký hiệu thay thế khác cho ký hiệu một phép đồng luân giữa hai hàm số liên tục $f,g:\; X\; \backslash rightarrow\; Y$ là một họ của các hàm số liên tục $h\_t:\; X\; \backslash rightarrow\; Y$ cho $t\backslash in\; [0,1\; ]$ sao cho $h\_0=\; f$ và $h\_1\; =\; g$ và mỗi bản đồ $t\; \backslash rightarrow\; h\_t(x)$ liên tục từ $[0,\; 1]$ đến $Y$. Hai cách viết này trùng nhau bằng cách thiết lập $h\_t(x)=H(x,t).$
• Ví dụ về phép biến đổi đồng luân của cốc cà phê thành hình xuyến (sử dụng phần mềm Sketchup file: [https://skydrive.live.com/redir?resid=7222866E2948D691!9790&authkey=!AE4T1iTOPu-zahg Ly cà phê]). giữa|Hình 1: Quá trình biến đổi cốc cà phê thành hình xuyến qua phép biến đổi đồng luân. giữa|Hình 2: Góc nhìn khác của quá trình biến đổi đồng luân.

Tính chất

Ánh xạ hợp

Hàm số liên tục $f$ và $g$ được gọi là đồng luân khi và chỉ khi có một đồng luân $H$ từ $f$ đến $g$ như mô tả ở trên. Mối quan hệ đồng luân này tương thích với ánh xạ thành phần theo nghĩa sau đây: Nếu $f\_1,g\_1:X\; \backslash rightarrow\; Y$ là đồng luân, và $f\_2,g\_2:Y\backslash rightarrow\; Z$ là đồng luân, thì ánh xạ hợp của chúng $f\_2\backslash circ\; f\_1$ và $g\_2\backslash circ\; g\_1:X\backslash rightarrow\; Z$ cũng đồng luân do tính chất ánh xạ hợp của hai hàm số liên tục thì liên tục.

Nhóm đồng luân

Quan hệ đồng luân giữa hai ánh xạ $f,\; g\backslash colon\; X\backslash to\; Y$ là một quan hệ tương đương, do đó ta có thể xét tập hợp các lớp tương đương, ký hiệu là $[X;Y]$. Cố định $X\; =\; [0,1]^n$ và $y\_0$ ảnh của biên $\backslash partial([0,1]^n)$, tập hợp này tạo thành một nhóm $\backslash pi\_n(Y,y\_0)$. Các nhóm này được gọi là các nhóm đồng luân. Khi $n\; =\; 1$, ta thu được nhóm cơ bản.

Đồng luân đường

• Nhắc lại về đường đi trong không gian $X$ là ánh xạ liên tục $\backslash alpha$ từ khoảng $[0,1]$ trong tô pô Euclid vào $X$. Điểm $\backslash alpha\; (0)$ được gọi là điểm đầu và điểm $\backslash alpha\; (1)$ được gọi là điểm kết thúc.
• Đặt $\backslash alpha$ và $\backslash beta$ là hai đường từ $a$ sang $b$ trong $X$. Một phép đồng luân từ $\backslash alpha$ và $\backslash beta$ là họ các ánh xạ: $F\_t:\; X\backslash rarr\; X,\; t\backslash in\; [0,1]$, như vậy ánh xạ $(t,s)\backslash rarr\; F\_t(s)$ là liên tục, $F\_0=\backslash alpha,\; F\_1=\backslash beta$, và với mọi điểm $t$ đường $F\_t$ đi từ $a\; \backslash rarr\; b$.

Ví dụ, hai ánh xạ gửi [−1,1] vào đường thẳng thực f(x) = −x và g(x) = x không đồng vị với nhau. Tuy nhiên chúng có đồng luân với nhau.

Các phép đồng vị là cấu xạ trong phạm trù các nút thắt.