✨Định lý Tychonoff

Trong tô pô, định lý Tychonoff (định lý Tikhonov) được phát biểu là tích của một họ các không gian tôpô compact là một không gian compact. Định lý này được đặt tên sau khi Andrey Nikolayevich Tychonoff chứng minh được nó năm 1930 cho những khoảng đóng đơn vị và năm 1935 chứng minh đầy đủ hơn cho các hợp đặc biệt. Chứng minh được công bố sớm nhất chứa trong kết quả bài báo của Eduard Čech.

Phát biểu

Tích của một họ bất kỳ các không gian compact thì compact trong tô pô tích đó.

Cho $\backslash mathcal\{F\}$ là một họ bất kỳ các tập con đóng của $X$ có tính giao hữu hạn. Ta chứng minh $\backslash mathcal\{F\}$ có phần giao khác rỗng, tức là $\backslash bigcap\_\{A\backslash in\backslash mathcal\{FA\backslash neq\backslash emptyset$.

$$ Xét họ $\backslash left\backslash \{\; \backslash overline\{p\_\{i\}(A)\}\; |\; \backslash quad\backslash forall\; A\; \backslash in\; \backslash mathcal\{F\}\backslash right\backslash \}$ với $p\_\{i\}:X\backslash longrightarrow\; X\_\{i\}$ là tập con đóng của $X\_\{i\}$ có phần giao hữu hạn. Vì $X\_\{i\}$ compact nên có phần giao khác rỗng. Suy ra có $x\_\{i\}\backslash in\backslash overline\{p\_\{i\}(A)\}\backslash quad\backslash forall\; A\backslash in\backslash mathcal\{F\}$

Từ đó cho thấy $\backslash mathcal\{F\}$ có phần giao khác rỗng, nhưng điều đó là không đúng như hình vẽ sau: Phản ví dụ

Khi đó ý tưởng của Tikhonov là mở rộng họ $\backslash mathcal\{F\}$

$\backslash exists\backslash mathcal\{\backslash mathcal\{\backslash widetilde\{F\}\backslash supset\backslash mathcal\{F\}$, $\backslash mathcal\{\backslash mathcal\{\backslash mathcal\{\backslash widetilde\{F$ là cực đại dưới tính giao hữu hạn. (Bổ đề Zorn)

Sẽ lặp lại lý luận trên với $\backslash mathcal\{\backslash mathcal\{\backslash mathcal\{\backslash widetilde\{F$ thay vì $\backslash mathcal\{F\}$.

Xét họ

$\backslash \{\backslash overline\{p\_\{i\}(A)\},|\backslash ,\; A\backslash in\backslash mathcal\{\backslash mathcal\{\backslash widetilde\{F\}\backslash \}$

là họ các tập con đóng của $X\_\{i\}$ có tính giao hữu hạn.

$X\_\{i\}$ compact nên tồn tại $x\_\{i\}\backslash in\backslash bigcap\_\{A\backslash in\backslash mathcal\{\backslash mathcal\{\backslash widetilde\{F\backslash overline\{p\_\{i\}(A)\}$

Cho $x${i}\in\bigcap{A\in\mathcal{\mathcal{\widetilde{F\overline{p{i}(A)} và $x=(x${i}){i\in I}\in\prod{i\in I}\left[\bigcap{A\in\mathcal{\mathcal{\widetilde{F\overline{p{i}(A)}\right]

Chứng minh $x\backslash in\backslash bigcap\_\{A\backslash in\backslash widetilde\{FA$

tức là chứng minh $x\backslash in\backslash overline\{A\}\backslash quad\backslash forall\; A\backslash in\backslash mathcal\{\backslash widetilde\{F$

Lấy một lân cận bất kỳ của $x$ có dạng $\backslash prod${i\in I}O{i} với$O${i}mở trong $X${i}

Do $x${i} \in \overline{p{i}(A)} nên $x${i} là điểm dính của $p${i}(A) suy ra $O${i} chứa điểm của $p${i}(A).

Nên :$O${i}\cap p{i}(A)\neq\emptyset với mọi $A\backslash in\backslash mathcal\{\backslash widetilde\{F$ :$p${i}^{-1}(O{i})\cap A\neq\emptyset với mọi $A\backslash in\backslash mathcal\{\backslash mathcal\{\backslash widetilde\{F\}$

Suy ra $p${i}^{-1}(O{i})\cup\mathcal{\mathcal{\widetilde{F} vẫn có tính giao hữu hạn.

Do $\backslash mathcal\{\backslash mathcal\{\backslash widetilde\{F\}$ là cực đại dưới tính giao hữu hạn nên $p${i}^{-1}(O{i})\in\mathcal{\mathcal{\widetilde{F}.

Suy ra :$\backslash bigcap${i\in I}p{i}^{-1}(O{i})\cap A\neq\emptyset với mọi $A\; \backslash in\; \backslash widetilde\{F\}$ :$\backslash Longrightarrow\backslash prod${i\in I}O_{i}\cap A\neq\emptyset với mọi $A\; \backslash in\; \backslash widetilde\{F\}$

Suy ra $x\backslash in\backslash overline\{A\}\backslash ;\backslash forall\; A\backslash in\backslash widetilde\{F\}$

Vậy $x\backslash in\backslash bigcap${A\in\widetilde{FA hay $\backslash bigcap${A\in\widetilde{FA\neq\emptyset.$\backslash blacksquare$