✨Định lý Gelfond–Schneider

Định lý Gelfond-Schneider mang tên của nhà toán học người Nga Alexander Osipovich Gelfond (1906-1968) và của nhà toán học Theodor Schneider (1911-1988), hai người cùng độc lập chứng minh trong lý thuyết số định lý này trong năm 1934.

Phát biểu

:Cho một số đại số a khác 1 và khác 0, và một số vô tỉ đại số b, thì số a^b là số siêu việt.

Ví dụ

Các số sau đây là siêu việt: *$e^\backslash pi=(e^\{i\backslash pi\})^\{-i\}=(-1)^i$

• $3^\{\backslash sqrt\{5$ Nếu không có điều kiện _a_ và _b_ là các số đại số, định lý nói chung không đúng. Ví dụ, $\{\backslash left(\backslash sqrt\{2\}^\{\backslash sqrt\{2\backslash right)\}^\{\backslash sqrt\{2\; =\; \backslash sqrt\{2\}^\{\backslash sqrt\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{2\; =\; \backslash sqrt\{2\}^2\; =\; 2.$ ở đây, _a_ là , là một số siêu việt. Tương tự, nếu và là một số siêu việt, thì là một số đại số.

Phân tích

• Định lý này được tổng quát hóa thành định lý Baker, bởi nhà toán học người Anh Alan Baker (1939- ) chứng minh năm 1966, như sau: :Nếu a₁,a₂,..., a_n là các số khác không sao cho log a₁, log a₂,..., log a_n là độc lập tuyến tính trên trường số hữu tỉ, thì 1, log a₁, log a₂,..., log a_n cũng độc lập tuyến tính trên mọi trường số đại số.

• Định lý này cũng cung cấp một lời giải cho vấn đề thứ 7 của Các bài toán Hilbert.

Lưu ý

• Quy ước log lấy trên cơ số tự nhiên e (đôi khi còn được viết là ln).