✨Dao động điều hòa

Trong cơ học cổ điển, một dao động điều hoà là một hệ mà khi bị chuyển dời khỏi vị trí cân bằng, thì chịu tác dụng của lực kéo về F tỉ lệ thuận với li độ x:

: $\backslash vec\; F\; =\; -k\; \backslash vec\; x,$

với k là một hằng số dương.

Nếu F là lực duy nhất tác dụng lên hệ thì hệ này được gọi là một dao động điều hoà đơn giản, và chịu ảnh hưởng của chuyển động điều hoà đơn giản: dao động hình sin xung quanh vị trí cân bằng, với một biên độ không thay đổi và một tần số không thay đổi (không phụ thuộc vào biên độ).

Nếu một lực ma sát tỉ lệ thuận với vận tốc cũng có mặt ở đó, dao động điều hoà được gọi là dao động tắt dần. Tuỳ vào hệ số ma sát, hệ này có thể:

• Dao động với một tần số nhỏ hơn so với trường hợp không tắt dần, và một biên độ giảm dần theo thời gian (dao đông tắt dần chậm).
• Trở về vị trí cân bằng mà không dao động (dao động tắt dần).

Dao động điều hoà đơn giản

Một dao động điều hoà đơn giản là một dao động không tắt dần và cũng không cưỡng bức. Nó gồm có một khối lượng m, chịu tác dụng của một lực F kéo khối lượng theo hướng của điểm x = 0 và chỉ phụ thuộc vào vị trí x của khối lượng đó và một hằng số k. Cân bằng các lực (định luật II Newton) của hệ là:

: $F\; =\; m\; a\; =\; m\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^2x\}\{\backslash mathrm\{d\}t^2\}\; =\; m\backslash ddot\{x\}\; =\; -k\; x.$

Sau khi giải phương trình vi phân này, tìm được phương trình của dao động điều hoà:

: $x(t)\; =\; A\; \backslash cos(\backslash omega\; t\; +\; \backslash varphi),$

với $\backslash omega$ là tần số góc:

: $\backslash omega\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\; k\; m\}.$

Thế năng của một dao động điều hoà đơn giản tại vị trí x là

: $W\_t\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; kx^2.$

Dao động tắt dần

Dao động tham số

Các hệ tương đương

Ví dụ

Con lắc đơn

liên_kết=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Simple_pendulum_height.svg|nhỏ|Một con lắc đơn thể hiện gần đúng chuyển động điều hoà đơn giản dưới điều kiện là không tắt dần và biên độ góc nhỏ. Giả sử dao động không tắt dần, phương trình vi phân của một con lắc đơn có độ dài $l$, với $g$ là gia tốc trọng trường cục bộ, là

: $\backslash frac\{d^2\backslash theta\}\{dt^2\}\; +\; \backslash frac\{g\}\{l\}\backslash sin\backslash theta\; =\; 0.$

Nếu li độ cực đại của con lắc mà nhỏ, có thể coi $\backslash sin\backslash theta\; \backslash approx\; \backslash theta$ và thay vào đó xét phương trình sau:

: $\backslash frac\{d^2\backslash theta\}\{dt^2\}\; +\; \backslash frac\{g\}\{l\}\backslash theta\; =\; 0.$

Nghiệm chung cho phương trình vi phân này là

: $\backslash theta(t)\; =\; A\; \backslash cos\backslash left(\backslash sqrt\{\backslash frac\{g\}\{l\; t\; +\; \backslash varphi\; \backslash right),$

với $A$ và $\backslash varphi$ là các hằng số phụ thuộc vào các điều kiện ban đầu. Sử dụng điều kiện ban đầu $\backslash theta(0)\; =\; \backslash theta\_0$ và $\backslash dot\{\backslash theta\}(0)\; =\; 0$, nghiệm này được cho bởi

: $\backslash theta(t)\; =\; \backslash theta\_0\; \backslash cos\backslash left(\backslash sqrt\{\backslash frac\{g\}\{l\; t\backslash right),$

với $\backslash theta\_0$ là góc lớn nhất mà con lắc có thể đạt tới (tức là, $\backslash theta\_0$ là biên độ góc của con lắc). Chu kì, hay thời gian đẻ hoàn thành một dao động hoàn toàn, được cho bởi công thức

: $\backslash tau\; =\; 2\backslash pi\; \backslash sqrt\backslash frac\{l\}\{g\}\; =\; \backslash frac\{2\backslash pi\}\{\backslash omega\},$

khá tốt khi được dùng để tỉnh xấp xỉ chu kì thực sự khi $\backslash theta\_0$ nhỏ. Lưu ý rằng giá trị xấp xỉ chu kì $\backslash tau$ không phụ thuộc vào biên độ góc $\backslash theta\_0$.

Định nghĩa các kí hiệu