Trong đại số tuyến tính, đa thức cực tiểu của một ma trận trên một trường là một đa thức monic trên với bậc thấp nhất sao cho . Bất kỳ đa thức nào khác sao cho là một bội của .

Các khẳng định sau là tương đương:

là một nghiệm của ,

là một nghiệm của đa thức đặc trưng of ,

là một giá trị riêng của ma trận .

Độ bội (hay số bội) của một nghiệm của là lũy thừa lớn nhất sao cho bao hàm ngặt . Nói cách khác, việc tăng số mũ lên đến sẽ cho hạch tăng liên tục, nhưng tăng thêm số mũ lớn hơn thì chỉ cho cùng một hạch.

Định nghĩa

Cho một tự đồng cấu trên không gian vectơ hữu hạn trên một trường , đặt là tập hợp

: $\backslash mathit\{I\}\_T\; =\; \{\; p\; \backslash in\; \backslash mathbf\{F\}[t]\; \backslash mid\; p(T)\; =\; 0\; \}$

trong đó là không gian của tất cả các đa thức trên trường . là một i-đê-an đích thực của . Vì là một trường, là miền chính, do đó, bất kỳ i-đê-an nào cũng là một i-đê-an chính. Đa thức cực tiểu được định nghĩa là đa thức monic duy nhất sinh . Đây là đa thức monic bậc thấp nhất trong

Thí dụ

Đa thức cực tiểu của ma trận đơn vị là $t-1\backslash in\; k[t]$, trong khi đa thức đặc trưng của ma trận đơn vị là $(t-1)^n$. Tương tự, đa thức cực tiểu của ma trận $0$ là $t$, và đa thức đặc trưng của nó là $t^n$.