✨Chuỗi lũy thừa hình thức

Trong toán học, một chuỗi lũy thừa hình thức là một sự khái quát của đa thức, trong đó số các số hạng có thể là vô hạn mà không có yêu cầu nào về sự hội tụ.

Vành các chuỗi lũy thừa hình thức

Vành các chuỗi lũy thừa hình thức một biến X với hệ số trong vành giao hoán R được ký hiệu là $RX$.

Cấu trúc vành

Một phần tử của $RX$ có thể được coi như một phần tử của $R^\backslash N$. Ta định nghĩa phép cộng

: $(a$n){n\in\N} + (bn){n\in\N} = \left(a_n + bn \right){n\in\N}

và phép nhân

: $(a$n){n\in\N} \times (bn){n\in\N} = \left(\sum_{k=0}^n ak b{n-k} \right)_{!n\in\N}.

Phép nhân này khác với phép nhân từng số hạng. Nó được gọi là tích Cauchy của hai chuỗi hệ số, và là một loại tích chập rời rạc. Với các phép toán này, $R^\backslash N$ trở thành một vành giao hoán với phần tử không $(0,0,0,\backslash ldots)$ và đơn vị $(1,0,0,\backslash ldots)$.

Cấu trúc tô pô

Theo qui ước

: $(a\_0,\; a\_1,\; a\_2,\; a$3, \ldots) = \sum{i=0}^\infty a_i X^i, \qquad (1)

một cấu trúc tô-pô trên vành các chuỗi lũy thừa hình thức được xác định bởi một cấu trúc tô-pô trên $R^\backslash N$. Có nhiều định nghĩa tương đương.

• Chúng ta có thể gán cho $R^\backslash N$ tô pô tích, với mỗi bản sao của $R$ mang tô pô rời rạc.
• Ta cũng có thể gán cho nó tô-pô cảm sinh từ metric sau. Khoảng cách hai chuỗi phân biệt $(a\_n),\; (b\_n)\; \backslash in\; R^\{\backslash N\},$ được định nghĩa là

:: $d((a\_n),\; (b\_n))\; =\; 2^\{-k\},$ : với $k$ là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho $a\_k\backslash neq\; b\_k$.

Ví dụ

Lưu ý rằng trong $\backslash RX$ giới hạn

: $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash left(1+\backslash frac\{X\}\{n\}\backslash right)^\{!n\}$

không tồn tại, vì vậy, nó không hội tụ tới

: $\backslash exp(X)\backslash \; =\backslash \; \backslash sum\_\{n\backslash in\backslash N\}\backslash frac\{X^n\}\{n!\}.$

Các phép toán khác

Lũy thừa

Với một số tự nhiên n ta có

: $\backslash left(\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; a$k X^k \right)^{!n} =\, \sum{m=0}^\infty c_m X^m,

trong đó

: 0} \sum{k=1}^m (kn - m+k) a{k} c{m-k}, \ \ \ m \geq 1. \end{align}

Nghịch đảo

Chuỗi

: $A\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n\; X^n\; \backslash in\; RX$

là khả nghịch trong $RX$ hệ số hằng $a\_0$ là khả nghịch. Chuỗi nghịch đảo $B$ có thể được tính qua công thức đệ quy tường minh

: 0} \sum{i=1}^n ai b{n-i}, \ \ \ n \geq 1. \end{align}

Một trường hợp đặc biệt là công thức chuỗi cấp số nhân được thỏa mãn trong $RX$:

: $(1\; -\; X)^\{-1\}\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; X^n.$

Hợp

Cho hai chuỗi lũy thừa hình thức

: $f(X)\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; a\_n\; X^n\; =\; a\_1\; X\; +\; a$2 X^2 + \cdots : $g(X)\; =\; \backslash sum${n=0}^\infty b_n X^n = b_0 + b_1 X + b_2 X^2 + \cdots,

ta có thể định nghĩa phép hợp

: $g(f(X))\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; b$n (f(X))^n = \sum{n=0}^\infty c_n X^n,

với

: $c$n:=\sum{k\in\N, |j|=n} bk a{j1} a{j2} \cdots a{j_k}.

Tổng này được lấy trên tất cả các cặp (k,j) với $k\backslash in\backslash N$ và $j\backslash in\backslash N\_+^k$ sao cho $|j|:=j\_1+\backslash cdots+j\_k=n.$

Đạo hàm hình thức

Cho một chuỗi lũy thừa hình thức

: $f\; =\; \backslash sum\_\{n\backslash geq\; 0\}\; a\_n\; X^n\; \backslash in\; RX,$

ta có thể xác định đạo hàm hình thức của nó, ký hiệu là Df hoặc f' , bởi

: $Df\; =\; f\text{'}\; =\; \backslash sum\_\{n\; \backslash geq\; 1\}\; a\_n\; n\; X^\{n-1\}.$

Tính chất

Tính chất đại số của vành các chuỗi lũy thừa hình thức

Tính chất tô pô

Không gian metric $(RX,\; d)$ là hoàn chỉnh

Vành $RX$ là compact khi và chỉ khi R là hữu hạn.