✨Bổ đề Euclid

Trong lý thuyết số, bổ đề Euclid là một bổ đề nắm một thuộc tính cơ bản của số nguyên tố, đó là:

Bổ đề Euclid — Nếu một số nguyên tố là ước của tích của hai số nguyên và , thì phải chia được hết bởi tối thiểu một trong các số nguyên và .

Ví dụ, nếu , , , thì , và vì tích này chia hết cho 19, theo bổ đề thì một trong hai hoặc cả hai số 133 hoặc 143 cũng phải chia hết cho 19. Thật vậy, .

Vốn dĩ, nếu điều kiện của bổ đề không được thỏa mãn, chẳng hạn như nếu là một hợp số, kết quả sẽ có thể là đúng hoặc sai. Ví dụ, trong trường hợp , , , hợp số 10 chia hết tích , nhưng 10 không chia hết 4 hay 15.

Tính chất này cần thiết cho chứng minh của định lý cơ bản của số học. Nó được dùng để định nghĩa phần tử nguyên tố, một tổng quát hóa của số nguyên tố cho các vành giao hoán bất kỳ. Bổ đề Euclid cho thấy rằng đối với tập số nguyên các phần tử tối giản cũng là phần tử nguyên tố. Chứng minh định lý sử dụng quy nạp nên nó không áp dụng với tất cả các miền nguyên.

Công thức

Lấy $p$ là một số nguyên tố và giả thiết rằng $p$ chia hết (hay "đo được") tích của hai số nguyên $a$ và $b$. (Trong cách viết ký hiệu, điều này được viết là $p\; \backslash mid\; ab$. Mệnh đề phủ định của nó, $p$ không chia hết $ab$ được viết là $p\; \backslash nmid\; ab$.) Vậy thì $p\; \backslash mid\; a$ hoặc $p\; \backslash mid\; b$ (hoặc cả hai). Các phát biểu tương đương bao gồm:

• Nếu $p\; \backslash nmid\; a$ và $p\; \backslash nmid\; b$, thì $p\; \backslash nmid\; ab$.
• Nếu $p\; \backslash nmid\; a$ và $p\; \backslash mid\; ab$, thì $p\; \backslash mid\; b$.

Bổ đề Euclid có thể được tổng quát hóa từ cho các số nguyên tố tới cho bất kỳ số nguyên nào:

Định lý — Nếu $n\; \backslash mid\; ab$, và $n$ nguyên tố cùng nhau với $a$, thì $n\; \backslash mid\; b$.

Đây là một tổng quát hóa bởi vì nếu $n$ cũng là số nguyên tố thì hoặc là

• $n\; \backslash mid\; a$; hoặc là
• $n$ nguyên tố cùng nhau với $a$. Trong khả năng thứ hai này, $n\; \backslash nmid\; a$ vì vậy $n\; \backslash mid\; b$.

Lịch sử

Bổ đề xuất hiện lần đầu dưới dạng mệnh đề số 30 trong Quyển VII của bộ Cơ sở của Euclid. Nó được kèm trong trên thực tế tất cả cuốn sách viết về lý thuyết số cơ bản.

Sự tổng quát hóa của bổ đề lên với mọi số nguyên xuất hiện trong sách giáo khoa Nouveaux Elémens de Mathématiques của Jean Prestet năm 1681.

Trong chuyên luận Disquisitiones Arithmeticae của Carl Friedrich Gauss, phát biểu của bổ đề là Định đề 14 của Euclid (Mục 2), mà ông sử dụng để chứng minh sự duy nhất của phân tích các thừa số nguyên tố của một số nguyên (Định lý 16), thừa nhận sự tồn tại là "hiển nhiên." Từ sự tồn tại và tính duy nhất này, sau đó, ông suy ra tổng quát hóa của bổ đề từ số nguyên tố thành số nguyên. với bổ đề Gauss về thặng dư bậc hai.

Chứng minh

Chứng minh bằng bổ đề Bézout

Chứng minh thông thường liên quan tới một bổ đề khác được gọi là bổ đề Bézout,