✨Biến đổi Fourier liên tục

Trong toán học, biến đổi Fourier liên tục là một toán tử tuyến tính chuyển một hàm khả tích (theo tích phân Lebesgue) sang một hàm khả tích khác. Theo ngôn ngữ của chuyên ngành xử lý tín hiệu hay trong vật lý, biến đổi Fourier khai triển một hàm số theo các thành phần trong phổ của nó, và ngược lại biến đổi Fourier nghịch đảo xây dựng lại một hàm số thông qua các thành phân tần số của nó. Đây cũng là ý tưởng chính của các dạng khác của biến đổi Fourier, bao gồm cả biến đổi Fourier rời rạc.

Xét một hàm số phức khả tích Lebesgue x(t). Một biến đổi Fourier của nó sang miền tần số góc ω được cho bởi hàm:

:$X(\backslash omega)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\backslash pi\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; x(t)\; e^\{-\; i\backslash omega\; t\}\backslash ,dt$

cho tất cả các số thực $\backslash omega\backslash ,$. $i=\; \backslash sqrt\{-1\}$ đơn vị số ảo, và $X(\backslash omega)\backslash ,$ là một hàm nhận giá trị phức.

Biến đổi nghịch đảo của nó cũng có dạng tương tự. Nếu hàm $X(\backslash omega)\backslash ,$ được định nghĩa như trên, và hàm $x\backslash ,$ liên tục bậc vô hạn, khi đó :

:$x(t)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\backslash pi\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{\backslash infty\}\; X(\backslash omega)\; e^\{\; i\backslash omega\; t\}\backslash ,d\backslash omega$

cho tất cả các số thực $t\backslash ,$.

Hệ số chuẩn hóa

Dạng tổng quát

Các tính chất

Biến đổi của các hàm thông dụng

Bản sau đây ghi lại một số biến đổi Fourier quan trọng. G và H ký hiệu biến đổi Fourier của hàm số g(t) và h(t), theo thứ tự đó. g và h có thể là hàm khả tích hoặc là phân bố.

Các mối liên quan

G \left(\frac{\omega}{a} \right)\, |$\backslash frac\{1\}\; G\; \backslash left(\backslash frac\{f\}\{a\}\; \backslash right)\backslash ,$ |Nếu $|a|\backslash ,$ lớn, thì $g(a\; t)\backslash ,$ tập trung xung quanh 0 và $\backslash frac\{1\}G\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash omega\}\{a\}\; \backslash right)\backslash ,$ trải rộng ra và phẳng dần. Để ý đến giới hạn của giá trị này khi $|a|$ ra vô cực - hàm số delta. |- | 105 |$G(t)\backslash ,$ |$g(-\backslash omega)\backslash ,$ |$g(-f)\backslash ,$ |Tính chất đối ngẫu của biến đổi Fourier. Kết quả từ việc hoán đổi biến $t\; \backslash ,$ và $\backslash omega\; \backslash ,$. |- | 106 |$\backslash frac\{d^n\; g(t)\}\{dt^n\}\backslash ,$ |$(i\backslash omega)^n\; G(\backslash omega)\backslash ,$ |$(i\; 2\backslash pi\; f)^n\; G(f)\backslash ,$ |Đạo hàm tổng quát của biến đổi Fourier |- | 107 |$t^n\; g(t)\backslash ,$ |$i^n\; \backslash frac\{d^n\; G(\backslash omega)\}\{d\backslash omega^n\}\backslash ,$ |$\backslash left\; (\backslash frac\{i\}\{2\backslash pi\}\backslash right)^n\; \backslash frac\{d^n\; G(f)\}\{df^n\}\backslash ,$ |Đối ngẫu của 106 |- | 108 |$(g$ h)(t)\, |$\backslash sqrt\{2\backslash pi\}\; G(\backslash omega)\; H(\backslash omega)\backslash ,$ |$G(f)\; H(f)\backslash ,$ |$g$ h\, biểu thị chập cuả $g\backslash ,$ và $h\backslash ,$ — quy tắc này là định lý tích chập |- | 109 |$g(t)\; h(t)\backslash ,$ |$(G$ H)(\omega) \over \sqrt{2\pi}\, |$(G$ H)(f)\, |Đây là kép của 108 |- | 110 |$g(t)\backslash ,$ hoàn toàn là thực và hàm chẵn |colspan="2" align="center"|$G(\backslash omega)\backslash ,$ và $G(f)\backslash ,$ hoàn toàn là thực, và hàm thậm chí | |- | 111 |$g(t)\backslash ,$ hoàn toàn là thực và một hàm kỳ quặc |colspan="2" align="center"|$G(\backslash omega)\backslash ,$ và $G(f)\backslash ,$ hoàn toàn là ảo và hàm lẻ | |}

Các hàm bình phương khả tích

\cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{f}{a}\right) |The rectangular pulse and the normalized sinc function |- | 202 |$\backslash operatorname\{sinc\}(a\; t)\backslash ,$ |$\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\backslash pi\; a^2\backslash cdot\; \backslash operatorname\{rect\}\backslash left(\backslash frac\{\backslash omega\}\{2\; \backslash pi\; a\}\backslash right)$ |$\backslash frac\{1\}\backslash cdot\; \backslash operatorname\{rect\}\backslash left(\backslash frac\{f\}\{a\}\; \backslash right)\backslash ,$ |Dual of rule 201. The rectangular function is an idealized low-pass filter, and the sinc function is the non-causal impulse response of such a filter. |- | 203 |$\backslash operatorname\{sinc\}^2\; (a\; t)\; \backslash ,$ |$\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\backslash pi\; a^2\backslash cdot\; \backslash operatorname\{tri\}\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash omega\}\{2\backslash pi\; a\}\; \backslash right)$ |$\backslash frac\{1\}\backslash cdot\; \backslash operatorname\{tri\}\; \backslash left(\backslash frac\{f\}\{a\}\; \backslash right)$ | tri is the triangular function |- | 204 |$\backslash operatorname\{tri\}\; (a\; t)\; \backslash ,$ |$\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\backslash pi\; a^2\; \backslash cdot\; \backslash operatorname\{sinc\}^2\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash omega\}\{2\backslash pi\; a\}\; \backslash right)$ |$\backslash frac\{1\}\backslash cdot\; \backslash operatorname\{sinc\}^2\; \backslash left(\backslash frac\{f\}\{a\}\; \backslash right)\; \backslash ,$ | Dual of rule 203. |- | 205 |$e^\{-\backslash alpha\; t^2\}\backslash ,$ |$\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\; \backslash alpha\backslash cdot\; e^\{-\backslash frac\{\backslash omega^2\}\{4\; \backslash alpha$ |$\backslash sqrt\{\backslash frac\{\backslash pi\}\{\backslash alpha\backslash cdot\; e^\{-\backslash frac\{(\backslash pi\; f)^2\}\{\backslash alpha$ |Shows that the Gaussian function $\backslash exp(-\backslash alpha\; t^2)$ is its own Fourier transform. For this to be integrable we must have $\backslash operatorname\{Re\}(\backslash alpha)>0$. |- | 206 |$e^\{iat^2\}\; =\; \backslash left.\; e^\{-\backslash alpha\; t^2\}\backslash right|\_\{\backslash alpha\; =\; -i\; a\}\; \backslash ,$ |$\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\; a\; \backslash cdot\; e^\{-i\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash omega^2\}\{4\; a\}\; -\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}\backslash right)\}$ |$\backslash sqrt\{\backslash frac\{\backslash pi\}\{a\; \backslash cdot\; e^\{-i\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash pi^2\; f^2\}\{a\}\; -\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}\backslash right)\}$ | common in optics |- | 207 |$\backslash cos\; (a\; t^2)\; \backslash ,$ |$\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\; a\; \backslash cos\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash omega^2\}\{4\; a\}\; -\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}\; \backslash right)$ |$\backslash sqrt\{\backslash frac\{\backslash pi\}\{a\; \backslash cos\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash pi^2\; f^2\}\{a\}\; -\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}\; \backslash right)$ | |- | 208 |$\backslash sin\; (a\; t^2)\; \backslash ,$ |$\backslash frac\{-1\}\{\backslash sqrt\{2\; a\; \backslash sin\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash omega^2\}\{4\; a\}\; -\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}\; \backslash right)$ |$-\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{\backslash pi\}\{a\; \backslash sin\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash pi^2\; f^2\}\{a\}\; -\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}\; \backslash right)$ | |- | 209 |$\backslash operatorname\{e\}^\{-a|t|\}\; \backslash ,$ |$\backslash sqrt\{\backslash frac\{2\}\{\backslash pi\; \backslash cdot\; \backslash frac\{a\}\{a^2\; +\; \backslash omega^2\}$ |$\backslash frac\{2\; a\}\{a^2\; +\; 4\; \backslash pi^2\; f^2\}$ | a>0 |- | 210 |$\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt$

Distributions