✨Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz

Trong đại số và giải tích, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (cũng gọi là bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz) phát biểu rằng trị tuyệt đối của tích vô hướng của hai vector luôn nhỏ hơn hoặc bằng tích độ dài của hai vector đó. Bất đẳng thức này được coi là một trong những bất đẳng thức quan trọng và xuất hiện thường xuyên trong toán học.

Tích vô hướng của véc-tơ có thể được biểu diễn thông qua tổng hữu hạn, chuỗi hay tích phân trong không gian Hilbert nên bất đẳng thức này có thể được biểu diễn thông qua nhiều dạng khác nhau. Bất đẳng thức của dạng tổng được công bố với Augustin-Louis Cauchy vào năm 1821, phiên bản tích phân là của Viktor Yakovlevich Bunyakovsky và Hermann Schwarz lần lượt vào năm 1859 và 1888,

Dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\backslash mathbf\{u\}$ và $\backslash mathbf\{v\}$ là phụ thuộc tuyến tính.

Một số phát biểu nổi tiếng và đặc biệt của bất đẳng thức này có thể kể đến như dưới đây

Bổ đề Sedrakyan

Bất đẳng thức Sedrakyan, hay bất đẳng thức Engel, bổ đề Titu phát biểu rằng với bộ số thực $u\_1,\; u\_2,\; \backslash dots,\; u\_n$ và bộ số dương $v\_1,\; v\_2,\; \backslash dots,\; v\_n$, ta có

$$\backslash frac\{\backslash left(\backslash displaystyle\backslash sum\_\{i=1\}^n\; u\_i\backslash right)^2\; \}\{\backslash displaystyle\backslash sum\_\{i=1\}^n\; v\_i\}\; \backslash leq\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash frac\{u\_i^2\}\{v\_i\}\; \backslash quad\; \backslash text\{\; hay\; tương\; đương,\; \}\; \backslash quad\; \backslash frac\{\backslash left(u\_1\; +\; u\_2\; +\; \backslash cdots\; +\; u\_n\backslash right)^2\}\{v\_1\; +\; v\_2\; +\; \backslash cdots\; +\; v\_n\}\; \backslash leq\; \backslash frac\{u^2\_1\}\{v\_1\}\; +\; \backslash frac\{u^2\_2\}\{v\_2\}\; +\; \backslash cdots\; +\; \backslash frac\{u^2\_n\}\{v\_n\}\; .$$

Bất đẳng thức này được suy ra trực tiếp bằng việc sử dụng tích vô hướng chính tắc và sử dụng hai dãy phụ là $u\_i\text{'}\; =\; \backslash frac\{u\_i\}\{\backslash sqrt\{v\_i$ và $v\_i\text{'}\; =\; \backslash sqrt\{v\_i\}$.

Không gian Euclid n-chiều

thumb|Một minh họa cho bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong đường tròn đơn vị. Trong không gian Euclid $\backslash R^n$ với tích vô hướng chính tắc , khi này bất đẳng thức C-S trở thành

$$\backslash left(\backslash sum\_\{i=1\}^n\; u\_i\; v\_i\backslash right)^2\; \backslash leq\; \backslash left(\backslash sum\_\{i=1\}^n\; u\_i^2\backslash right)\; \backslash left(\backslash sum\_\{i=1\}^n\; v\_i^2\backslash right).$$

Trong mặt phẳng $\backslash R^2$, ta có hai dạng dễ gặp hơn là

$$\backslash langle\; \backslash mathbf\{u\},\; \backslash mathbf\{v\}\; \backslash rangle^2\; =\; (\backslash |\backslash mathbf\{u\}\backslash |\; \backslash |\backslash mathbf\{v\}\backslash |\; \backslash cos\; \backslash theta)^2\; \backslash leq\; \backslash |\backslash mathbf\{u\}\backslash |^2\; \backslash |\backslash mathbf\{v\}\backslash |^2,$$ và $$\backslash left(u\_1\; v\_1\; +\; u\_2\; v\_2\backslash right)^2\; \backslash leq\; \backslash left(u\_1^2\; +\; u\_2^2\backslash right)\; \backslash left(v\_1^2\; +\; v\_2^2\backslash right),$$

Không gian phức n-chiều

Nếu $\backslash mathbf\{u\},\; \backslash mathbf\{v\}\; \backslash in\; \backslash Complex^n$, ta khi này định nghĩa tích vô hướng giữa hai véc-tơ là $\backslash langle\; \backslash mathbf\{u\},\; \backslash mathbf\{v\}\; \backslash rangle\; :=\; u\_1\; \backslash overline\{v$1} + \cdots + u{n} \overline{v_n},, bất đẳng thức C-S khi đó được phát biểu là

$$|\backslash langle\; \backslash mathbf\{u\},\; \backslash mathbf\{v\}\; \backslash rangle|^2\; =\; \backslash left|\backslash sum\_\{k=1\}^n\; u\_k\backslash bar\{v\}\_k\backslash right|^2\; \backslash leq\; \backslash langle\; \backslash mathbf\{u\},\; \backslash mathbf\{u\}\; \backslash rangle\; \backslash langle\; \backslash mathbf\{v\},\; \backslash mathbf\{v\}\; \backslash rangle\; =\; \backslash left(\backslash sum\_\{k=1\}^n\; u\_k\; \backslash bar\{u\}\_k\backslash right)\; \backslash left(\backslash sum\_\{k=1\}^n\; v\_k\; \backslash bar\{v\}\_k\backslash right)\; =\; \backslash sum\_\{j=1\}^n\; \backslash left|u\_j\backslash right|^2\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; \backslash left|v\_k\backslash right|^2.$$ hay viết dưới dạng tường minh là $$\backslash left|u\_1\; \backslash bar\{v\}\_1\; +\; \backslash cdots\; +\; u\_n\; \backslash bar\{v\}\_n\backslash right|^2\; \backslash leq\; \backslash left(\backslash left|u\_1\backslash right|^2\; +\; \backslash cdots\; +\; \backslash left|u\_n\backslash right|^2\backslash right)\; \backslash left(\backslash left|v\_1\backslash right|^2\; +\; \backslash cdots\; +\; \backslash left|v\_n\backslash right|^2\backslash right).$$

Chứng minh

Bất đẳng thức này rõ ràng đúng với y = 0, vì thế ta có thể giả sử <x, y> khác 0. Giả sử $\backslash lambda$ là một số phức bất kỳ. Khi đó, chúng ta có bất đẳng thức chắc chắn đúng như sau:

:$0\; \backslash leq\; \backslash left|\; x-\backslash lambda\; y\; \backslash right|^2\; =\; \backslash langle\; x-\backslash lambda\; y,x-\backslash lambda\; y\; \backslash rangle\; =\; \backslash langle\; x,x\; \backslash rangle\; -\; \backslash lambda\; \backslash langle\; x,y\; \backslash rangle\; -\; \backslash bar\{\backslash lambda\}\; \backslash langle\; y,x\; \backslash rangle\; +\; |\backslash lambda|^2\; \backslash langle\; y,y\backslash rangle.$

Chọn :$\backslash lambda\; =\; \backslash langle\; y,x\; \backslash rangle\; \backslash cdot\; \backslash langle\; y,y\; \backslash rangle^\{-1\}$ chúng ta được

:$0\; \backslash leq\; \backslash langle\; x,x\; \backslash rangle\; -\; |\backslash langle\; x,y\; \backslash rangle|^2\; \backslash cdot\; \backslash langle\; y,y\; \backslash rangle^\{-1\}$

mà bất đẳng thức trên đúng khi và chỉ khi

:$|\backslash langle\; x,y\; \backslash rangle|^2\; \backslash leq\; \backslash langle\; x,x\; \backslash rangle\; \backslash cdot\; \backslash langle\; y,y\; \backslash rangle$

hay tương đương:

:$\backslash big|\; \backslash langle\; x,y\; \backslash rangle\; \backslash big|\; \backslash leq\; \backslash left|x\backslash right|\; \backslash left|y\backslash right|.$ (điều phải chứng minh)

Một vài ứng dụng

Bất đẳng thức tam giác cho tích trong thường được xem là một hệ quả của bất đẳng thức Cauchy – Schwarz như sau: cho các vector x và y,

:

Lấy căn bậc hai hai vế ta được bất đẳng thức tam giác.